이 시대의 대표적 학자 유클리드(Euclid, 에우클레이데스 300? B.C.)의 생애에 대하여는 잘 알려져 있지 않다. 아마도 플라톤의 아카데미에서 공부한 뒤, 프톨레마이오스 왕의 초청에 따라 알렉산드리아로 온 학자가 아닌가 상상되고 있다. 그는 광학, 음악, 천문학 등에 관한 10가지 정도의 책을 썼는데, 그중 5가지는 아랍어로 번역된 것이 남아 있다. 그는 그때까지 알려져 있던 거의 모든 수학의 지식을 깊이 연구한 뒤에 그것을 한 이론 체계로 조직하여 저술한, 전13권으로 된 대저작 《원론(Elements, 그리스어로는 Stoikeia)》으로 불멸의 이름을 남겼다.
여기에서 권(卷, books)이라 함은 단순히 “부분”이란 뜻에 불과하다. 이 책은 당시의 교과서로 사용되었던 듯하며, 실제로, 프톨레마이오스 왕이 《원론》을 교과서로 하여 유클리드로부터 기하학을 배울 때, 그 엄밀함에 지쳐서, “좀 더 쉬운 방법은 없겠는가?”라고 유클리드에게 물었더니 “기하학에 왕도는 없다”는 대답을 들었다는 유명한 얘기가 있다.
유클리드의 《원론》은 기원전 300년경에 씌어진 것이나, 1500년경에 서유럽의 인쇄술이 보급되기 전까지는 필사본으로 전해져 왔다. 현존하는 가장 오래된 사본은 1000년경의 것이다.
《원론》에서 유클리드는 그의 선구자들이 발견한 중요한 기하학적 사실을 체계적인 형식으로 기록하였는데, 기하학의 논리전개에 필요한 증명 없이 사용하는 다섯 개의 공준(公準)과 크기의 문제에 일반적으로 적용되는 다섯 개의 공리(公理)에 기초를 두고, 사용하는 용어에 대한 정의를 명백히 하여, 어떤 특수한 도형의 특수한 성질이 아닌 일반적인 도형의 일반적인 성질을 하나 하나 정리(定理)로서 증명하여 나가고 있다. 이제 《원론》에 나와 있는 평면기하학의 공준과 공리를 열거해 보면 다음과 같다.
공리
(1) 같은 것과 같은 것들은 서로 같다.
(2) 같은 것들에 같은 것을 더하면 그 합은 서로 같다.
(3) 같은 것들에서 같은 것을 빼면 그 차는 서로 같다.
(4) 서로 포개어지는 것들은 서로 같다.
(5) 전체는 부분보다 크다.
공준
(1) 임의의 서로 다른 두 점은 직선으로 연결할 수 있다.
(2) 직선은 무한히 연장할 수 있다.
(3) 임의의 점을 중심으로 하고 임의의 길이를 반지름으로 하는 원을 그릴 수 있다.
(4) 모든 직각은 같다.
(5) 한 평면 위의 한 직선이 그 평면 위의 두 직선과 만날 때 동측 내각의 합이 2직각보다 작으면 이 두 직선은 그쪽에서 만난다.
여기에서 보는 바와 같이 공준은 기하학적 성격만을 가지고 있는 데 비하여, 공리는 일반적 명제의 성격을 가지고 있다. 영어로 공리는 axiom인데, ‘원리’를 의미하는 라틴어 axioma에서 나왔으며, 공준은 postulate로 ‘요청’을 뜻한다. 유클리드는 공리를 모든 사람들이 인정하고 있는 명제로 생각한 데 비하여, 공준은 기하학을 전개해 나가기 위해서 성립해 주어야 할 명제로 요청하고 있는 것이다. 이로써 유클리드는 공준, 공리는 자명의 명제임을 요구하고, 기하학적인 직관에 의존하지 않고 논리적인 전개만으로 증명을 이끌어 나가기를 바란 것이다. 그러나 유클리드의 《원론》은 이들 기본 원리를 충분히 분석하지 못했기 때문에 순서의 개념, 도형의 운동의 가능성 따위를 암암리에 가정하거나 또는 직관적인 자명한 것으로 증명 과정에 숨겨 두었다.
위에서 공준이란 말이 뒤에는 공리로 바뀌었으며, 위의 공준 (5)를 특히 평행선공리라 부르게 되었다.
《원론》의 대체적인 내용은, 제1권은 평면직선도형의 성질을 다루었는데, 삼각형에서 시작하여 면적론, 피타고라스의 정리와 그 역의 증명으로 끝나고, 제2권은 2차적인 작도문제, 제3권은 원, 제4권은 정다각형의 작도 문제를 다루고 있다. 제5권은 비례론(실수론), 제6권은 그 응용인 닮은꼴의 이론, 제7-9권은 정수론, 제10권은 특수한 무리수, 제11-13권까지는 입체기하학인데, 제13권에 정다면체가 다섯 가지밖에 없다는 것을 작도로써 자세히 논하고 있다.
《원론》의 제13권 중 유클리드 자신의 이름으로 된 정리는 없으며, 1, 2, 6, 7, 8, 9, 11권은 피타고라스 학파, 특히 아르키타스(Archytas, 428?-347? B.C.)의 업적이라 하며, 3, 4권은 히포크라테스(Hippocrates, 430? B.C., 의사들의 선서를 만든 사람이 아님, 키오스(Chios)섬 출신), 5권과 7권은 유독소스, 10권과 13권은 테아이테토스의 업적을 다루고 있다고 한다.
유클리드의 《원론》 또는 그와 비슷한 내용은 2천 년 이상이나 대학 또는 중등학교에서 기하학뿐 아니라 엄밀한 사고법을 가르치는 데 쓰여 왔다. 2차대전 후 얼마 되지 않아 사람들은 기하학이 논리를 가르치는 데 적절한 분야가 아니며, 《원론》이 충분히 엄밀하지 않다고 하여, 결국 ‘새 수학’을 가르치는 것으로 바뀌게 되었다.
[네이버 지식백과] 유클리드 (수학의 세계, 2006. 9. 10., 서울대학교출판문화원)
