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집합론 탐방(1)
작성자 하** 작성일 2017-07-07 조회수 447

집합론 탐방

울산대학교


교수 강 태 호

 

현대수학의 기초라고 말하는 집합론은 게오르크 칸토어(1845.3.3 - 1918.1.6)에 의해 시작된 분야이고, 그 당시는 물론이거니와 현대에서도 개념을 이해하기가 어려운 무한개의 모임을 연구대상으로 하는 학문이다. 그 대상의 하나인 실수의 집합은 자연수와 일대일로 연결지울수 없는 것이 무한히 많다는 성질이 그것이다. 본 주제에서는 이런 성질을 중심으로 집합의 포함관계등 에 대해서 살펴보고, 이와 같은 집합에 관한 사고방법이 수학의 기초를 이해하는데 도움이 되길 바란다.

 

1-1 집합과 그의 연산

 

서로 구별할 수 있는 성질을 가진 것의 모임을 집합이라고 한다. 예를 들면 자연수 를 집합으로는 중괄호 { }를 사용하여

으로 나타낸다. 집합 를 구성하는 각각의 것을 원소(혹은 요소, 점,원)라 한다. 가 집합 의 원소일 때, 는 에 속한다 라하고, 기호로써

혹은

로 나타낸다. 가 의 원소가 아닐 때,

혹은

로 나타낸다.

특히, 자연수 집합은 , 정수집합은 , 유리수 집합은 , 실수집합은 그리고 복소수 집합은 로 나타낸다.

 

예 1. , .

 

집합을 표현하는데는 두 가지 방법이 있다. 그 한가지는 모든 원소를 나열하는 방법으로 집합 의 원이 와 같이 유한개의 집합의 경우 과 같이 나타내지만 의 원이

처럼 무한개의 경우에도

은 의 모든 원소를 쉽게 표현하고 있다. 이와 같은 방법을 원소나열법이라 한다. 한편, 과 같이 원소나열법으로는 어떠한 집합인지 알아보기 어렵다. 이와 같은 경우에는 그리고 은 소수 와 같이 나타내는 쪽이 이해하기 쉽다. 일반적으로 에 관한 명제 을 사용하여

이라 나타낸다. 이와 같이 나타내는 방법을 조건제시법이라 한다.

 

예 2. 다음의 각 구간을 내포적 방법으로 나타내어라.

(1) (2) (3)

두 집합 에 대하여

이면

일 때, 는 에 포함된다 혹은 는 의 부분집합이라 하고,

혹은

로 나타낸다. 특히 그리고 일 때, 는 의 진부분집합이라 한다. 또한 이고 더욱이 인 원소 가 존재할 때 ‘ 는 에 포함되지 않는다’ 라 하며, 혹은 로 나타낸다.

집합 에 대해서

이고 일 때 ‘ 와 는 같다’ 라고 하며,

로 나타낸다. 이 등호의 정의로부터 다음의 정리 1은 자명하다.

정리 1. 집합 에 대해서 다음 각 등식이 성립한다.

(1) (반사율)

(2) 이면 (대칭율)

(3) 이고 이면 (추이율)

 

포함관계에 대한 다음 정리도 명백하다.

 

정리 2. 집합 에 대해서 다음이 성립한다.

(1)

(2) (여기서 는 동치를 나타낸다)

(3) 그리고 이면

 

정리 2의 (2)는 특히 중요하다. 왜야하면 를 보일 때, 및 임을 보이면 되기 때문이다.

 

예 3. 일 때, 임을 보여라.

 

(1) 합집합과 교집합

이제 집합의 연산에 관하여 알아보자.

집합 에 대하여, 의 합집합 와 교집합 를 다음과 같이 정의한다. 즉,

혹은 ,

그리고 .

다음 정리 3, 정리 4 그리고 정리 5는 각각 합집합과 교집합에 관한 것으로 쉽게 보일 수 있다.

 

정리 3. 집합 에 대하여, 다음 성질이 성립한다.

(1)

(2)

(3) (결합법칙)

(4) (교환법칙)

 

정리 4. 집합 에 대하여, 다음 성질이 성립한다.

(1)

(2)

(3) (결합법칙)

(4) (교환법칙)

 

정리 5. 집합 에 대하여, 과 사이에 다음 성질이 성립한다.

(1) (2)

 

(2) 공집합과 여집합

일 때, 에는 공통인 원소가 없다, 이와 같이 원소를 하나도 포함하지 않는 집합을 공집합이라 하고,

혹은

로 나타낸다. 공집합 는 모든 집합의 부분집합으로 생각하며, 일 때, 두 집합 와 는 서로소라 한다.

집합 에 대하여, 에는 속하고 에는 속하지 않는 원소의 집합을

혹은

로 나타내고 로부터 를 뺀 차집합 혹은 차라 한다. 즉,

그리고 .

특히, 전체집합 로부터 를 뺀 차집합을 의 여집합이라 하고,

( 는 complement(여집합)의 머리글자이다)

로 나타낸다. 즉, 이다. 또한, 이다.

다음은 여집합의 정의로부터 쉽게 보일 수 있다.

 

정리 6. 를 전체집합 의 집합이라 할 때, 다음 드 모르간의 법칙이 성립한다.

(1) (2)

 

예 6. 일 때, 다음 집합을 구하여라.

(1) (2) (3) (4) (5)  

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