3차 방정식 풀이
아랍 숫자가 유럽에 들어온 것은 14세기이며, 그와 함께 2차방정식의 해법이 전해져 왔다. 그러나 3차방정식은 특수한 경우를 제외하고는 풀 수 없었으므로, 당시의 수학자들은 일반적인 방법 또는 근의 공식을 얻으려는 노력을 시도하였다.
16세기 전반의 이탈리아에서는 수학 시합이라는 것이 유행하였다. 즉, 두 사람의 수학자가 각각 상대방에게 같은 개수의 문제를 제시한 뒤에, 정해진 기간 안에 보다 많은 문제를 해결한 쪽이 이기는 일종의 도전 시합이었다. 따라서 당시에는, 수학자가 어떤 사실을 발견하였어도 그것을 즉시 공표하지 않는 일이 많았다.
이러한 수학 시합에 있어, 가장 흔히 출제되는 것은 파치올리의 책에 영향을 받아 “3차방정식을 풀어라”는 문제이었다. 3차방정식은 항상
x3 + mx = n
꼴로 변형할 수 있는데, 이것은 페로(Ferro, 1465?-1526?)가 1505년에 풀었다고 하나, 그 해법은 비밀에 붙여졌던 듯하다.
오늘날 전해져 오는 3차방정식의 풀이는 폰타나(Fontana, 1506-57), 통칭 타르탈리아(Tartaglia, 말더듬이라는 뜻)가 1541년에 발견한 것이다. 이것을 현대적으로 표현해 보자.
3차방정식
ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0)
은 ![]()
라 둠으로써
y3 + 3py + q = 0
으로 고쳐 쓸 수 있는데, 이것은 비에트가 발견한 것이다. 여기에서,
![]()
이다. 이제 1의 한 세제곱근을 ω(≠1)라 하면, y의 값은
![]()
가 된다. 여기에서
![]()
이다. y의 세 값에서 b/3a를 뺀 것이 구하려는 근이다.
p와 q가 실수인 경우, q2 + 4p3 ＜ 0일 때는 공식으로부터 한 실근과 두 복소근이 얻어진다. 한편, q2 + 4p3 ＞ 0일 때는 세 근 모두 실수가 된다.
당시의 풍습에 따라, 타르탈리아는 그가 발견한 이 해법을 공표하지 않았으나, 밀라노사람 카르다노(G. Cardano, 1501-76)의 간청에 못이겨, 절대로 다른 사람에게 알리지 않는다는 약속으로, 이를 가르쳐 주었다. 그러나 카르다노는 이 약속을 어기고, 그가 1545년에 발표한 저서 《위대한 기술(Ars Magna)》 속에 이 해법을 실었다고 하여 타르탈리아의 격분을 샀다는 설이 있다. 여하간 이 책은 서유럽인이 최초로 아라비아의 영향에서 벗어난 독자적인 업적으로 평가된다. 카르다노의 책은 라틴어로 씌어 있는데, 1968년 MIT출판부에서 영역본이 출간되었다.
[네이버 지식백과] 3차방정식의 풀이 (수학의 세계, 2006. 9. 10., 서울대학교출판문화원)
