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집합론 탐방(2)
작성자 하** 작성일 2017-07-07 조회수 445

1-2 사상

 

정의 1. 를 집합이라 한다. 의 임의의 원소 를 의 단 하나의 원소 에 대응시킬 때, 이 대응 규칙을 에서 로의 사상이라 한다.

 

일반적으로 사상은 기호 등이 사용되며, 에 대응하는 의 원을 로 쓰고, 사상 에 의한 의 상이라 한다. 이 때, 를 의 정의역이라 하고, 를 의 치역이라 한다. 또한 처럼 나타낸다. 특히, 와 가 수의 집합일 때, 사상 를 함수라 한다. 임의의 를 자기자신에 대응시키는 사상

를 항등사상이라 한다.

사상 에 대하여, 임의의 원소 에 대하여 를 만족하는 원소 가 존재할 때, 를 전사라 한다. 즉,

에 대해서, 가 존재하여 가 된다.

또한, 사상 에 대하여 의 서로 다른 두 원소의 상이 다를 때, 를 단사라 한다. 즉,

에 대해서, .

이것의 대우는

이다. 사상 가 전사이고 단사일 때, 전단사(혹은 일대일 대응)라고 한다.

전단사 가 주어져 있다면 에 대하여 가 되는 가 단 하나 존재하게 된다. 이 때, 에 이런 를 대응시키면 로부터 로의 사상 가 단 하나 결정된다. 이 사상을 의 역함수라 하고, 로 나타낸다.

 

문. 사상 의 역함수가 존재하게 되면 유일함을 보여라.

 

정의 2. 두 함수 , 에 대하여, 에 대하여 의 원소 가 결정될 때, 이 대응 를 와 의 합성함수라 하고,

로 나타낸다. 즉,

.

 

정리 7. 두 함수 , 의 합성함수 : 라 두자.

(1) 가 전사이면 가 전사이다.

(2) 가 단사이면 가 단사이다.

증명. 연습문제로 □

 

따름정리. , 의 두 합성함수 : , 가

모두 전단사이면, 와 도 전단사이다.

증명. 정리 7로부터 나온다.□

 

정리 8. , 가 ( 에서 항등사상), ( 에서 항등사상)를 만족시킬 필요충분조건은 가 서로 역함수가 되는 것이다.

증명. 역함수의 정의와 따름정리로부터 나온다.□

 

일반적으로, 집합 로부터 로의 전단사(일대일 대응)가 존재할 때, 와 는 ‘동등이다’ 라 말하고,

로 나타낸다. 이 동등에 관하여 다음 정리는 자명하다.

 

정리 9. 집합사이의 동등에 관하여 다음 성질이 성립한다.

(1) (반사율)

(2) (대칭율)

(3) (추이율)

증명. (3)은 와 , 와 의 전단사의 합성을 취하면 된다.
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