집합론 탐방(3) | |||||||||
작성자 | 하** | 작성일 | 2017-07-07 | 조회수 | 3213 | ||||
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1-3 집합의 농도
공집합이 아닌 집합 이 성립할 때, 유한집합이 아닌 집합을 무한집합이라 한다. 집합 라 나타내기로 한다. 집합
(1) 가산집합 자연수의 집합 정리 10. 정수의 집합 증명. 정리 11. 유리수 집합 증명. 우선, 양의 유리수 집합이 가산집합임을 보이자. 양의 유리수를 아래 표와 같이 나열해서 오른쪽 위에서부터 왼쪽 밑으로 비스듬히 번호를 붙여 나간다. 첨자는 붙인 번호를 의미하고, 같은 수가 반복하여 나올 때는 건너 뛰어 번호를 붙여 나간다. 이런 시행을 계속하면 양의 유리수가 가산집합이 됨을 안다. 따름정리. 가산집합의 가산무한의 합집합은 가산집합이다. 증명. 정리 11과 같은 방법으로 각 가산집합을 위로부터 순서대로 나열하고, 그것을 오른쪽 위에서부터 왼쪽 밑으로 비스듬히 번호를 붙여 나가면 된다.□ (2) 연속체의 농도 정리 12. 실수의 개구간 증명. 귀류법으로 증명하자. 개구간 위의 를 만들면 이다.□ 이다. 실수전체의 집합의 농도
이 사상으로 일반적으로, 로 나타낸다. 정리 13. 이다. 증명. 사상 다음으로 지금, 전사 라 두면 따라서, (i) (ii) 그러므로 주의. 이 정리는 칸토어의 연속체가설 “ 이것은 아래 괴델의 불완전성 정리에 의해 참 혹은 거짓인지 알 수 없는 것으로 밝혀졌다. 한편, 모든 것을 포함하는 집합의 존재는 당연시 되었으나 아래 러셀의 패러독스에 의하면 그것이 불가능하게 되었다. 러셀의 파라독스에 의하여 속성들이 실제로 실집합을 정의하고 있는지를 밝혀야 하는 과제를 안게 되었다. 그러나 그렇게 할 수 있는 방법을 제시하는 것은 불가능한 것일 수 도 있음을 아래 괴델의 불완전성 정리는 설명하고 있다. 칸토어의 패러독스로 알려지고 있는 다음의 성질을 생각해 보자. “모든 것의 집합 증명. 귀류법으로 증명하자. 이다. 그런데
※1901년 러셀은 언뜻 보아서 단순해 보이는 질문을 자문했다. 자기자신을 원소로 하지 않는 모든 집합의 집합을 생각하였다. 그는 이 집합을 ※1920년대에 이르러서 괴델은 어떤 체계가 주어 졌을 때, 그 체계 내에서는 증명될 수 없는 명제가 항상 존재한다는 것을 증명하였다. 어떤 정리가 참이라 해도, 그것을 수학적으로 증명하는 것이 불가능 할 수 있다. 이것이 바로 유명한 괴델의 불완전성 정리의 핵심이다. |
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